Упр.8.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |x^2-x-3| < 9; 4) |4x-3|?x^2-3x+3; 2) |x^2-4| < 3x; 5) |3x-2|x < 1; 3) x^2-5x+9 > |x-6|; 6) |x-4|(x+2)?4x.

1. $$|x^2-x-3|<9$$

   Рассмотрим двойное неравенство:

   $$-9<x^2-x-3<9$$

   Из левой части получаем:

   $$x^2-x+6>0$$

   Это верно при всех $$x\in\mathbb R$$, так как $$D=1-24=-23<0$$ и старший коэффициент положителен.

   Из правой части:

   $$x^2-x-12<0$$

   $$ (x+3)(x-4)<0 $$

   $$-3<x<4$$

2. $$|x^2-4|<3x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то обязательно $$3x>0$$, то есть $$x>0$$.

   Решим двойное неравенство:

   $$-3x<x^2-4<3x$$

   Из правой части:

   $$x^2-3x-4<0$$

   $$ (x+1)(x-4)<0 $$

   $$-1<x<4$$

   С учётом условия $$x>0$$ получаем:

   $$0<x<4$$

3. $$x^2-5x+9>|x-6|$$

   Если $$x\ge 6$$, то:

   $$x^2-5x+9>x-6$$

   $$x^2-6x+15>0$$

   $$D=36-60=-24<0$$, значит неравенство верно при всех $$x$$.

   Если $$x<6$$, то:

   $$x^2-5x+9>6-x$$

   $$x^2-4x+3>0$$

   $$ (x-1)(x-3)>0 $$

   $$x<1 \text{ или } x>3$$

   С учётом случая $$x<6$$ получаем:

   $$x<1 \text{ или } 3<x<6$$

   Объединяя с случаем $$x\ge 6$$, имеем:

   $$x<1 \text{ или } x>3$$

4. $$|4x-3|\ge x^2-3x+3$$

   Если $$x\ge \frac34$$, то:

   $$4x-3\ge x^2-3x+3$$

   $$x^2-7x+6\le 0$$

   $$ (x-1)(x-6)\le 0 $$

   $$1\le x\le 6$$

   Если $$x<\frac34$$, то:

   $$3-4x\ge x^2-3x+3$$

   $$x^2+x\le 0$$

   $$x(x+1)\le 0$$

   $$-1\le x\le 0$$

   Итак,

   $$x\in[-1;0]\cup[1;6]$$

5. $$|3x-2|x<1$$

   Если $$x\ge \frac23$$, то:

   $$ (3x-2)x<1 $$

   $$3x^2-2x-1<0$$

   $$ (3x+1)(x-1)<0 $$

   $$-\frac13<x<1$$

   С учётом условия $$x\ge \frac23$$ получаем:

   $$\frac23\le x<1$$

   Если $$x<\frac23$$, то:

   $$ (2-3x)x<1 $$

   $$2x-3x^2<1$$

   $$3x^2-2x+1>0$$

   $$D=4-12=-8<0$$, а старший коэффициент положителен, значит неравенство верно при всех $$x$$.

   С учётом условия $$x<\frac23$$ получаем:

   $$x<\frac23$$

   Объединяя оба случая:

   $$x<1$$

6. $$|x-4|(x+2)\ge 4x$$

   Если $$x\ge 4$$, то:

   $$ (x-4)(x+2)\ge 4x $$

   $$x^2-6x-8\ge 0$$

   $$x=3\pm\sqrt{17}$$

   $$x\le 3-\sqrt{17} \text{ или } x\ge 3+\sqrt{17}$$

   С учётом условия $$x\ge 4$$ остаётся:

   $$x\ge 3+\sqrt{17}$$

   Если $$x<4$$, то:

   $$ (4-x)(x+2)\ge 4x $$

   $$x^2+2x-8\le 0$$

   $$ (x+4)(x-2)\le 0 $$

   $$-4\le x\le 2$$

   С учётом условия $$x<4$$ это не меняется.

   Итак,

   $$x\in[-4;2]\cup[3+\sqrt{17};+\infty)$$

Ответ

1) $$(-3;4)$$; 2) $$[0;4)$$; 3) $$(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$; 4) $$[-1;0]\cup[1;6]$$; 5) $$(-\infty;1)$$; 6) $$[-4;2]\cup[3+\sqrt{17};+\infty)$$.