Упр.8.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 5x^2-7|x|+2?0; 3) 6x^2-5|x|+1 < 0. 2) x^2+10|x|-24?0;

Подробный ответ

Функции вида $$y=ax^2+b|x|+c$$ чётные, поэтому достаточно рассмотреть замену $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$

$$5x^2-7|x|+2\ge 0.$$
Положим $$t=|x|.$$ Тогда получаем квадратное неравенство
$$5t^2-7t+2\ge 0.$$
Найдём корни уравнения $$5t^2-7t+2=0$$:
$$D=7^2-4\cdot 5\cdot 2=49-40=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2\cdot 5},\quad t_1=\frac{4}{10}=0{,}4,\quad t_2=\frac{10}{10}=1.$$
Тогда
$$5t^2-7t+2=(t-0{,}4)(t-1)\ge 0,$$
откуда $$t\le 0{,}4$$ или $$t\ge 1.$$
Возвращаясь к $$t=|x|$$, получаем
$$|x|\le 0{,}4 \quad \text{или} \quad |x|\ge 1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;-1]\cup[-0{,}4;0{,}4]\cup[1;+\infty).$$
$$x^2+10|x|-24\le 0.$$
Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2+10t-24\le 0.$$
Найдём корни уравнения $$t^2+10t-24=0$$:
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-24)=100+96=196,$$
$$t_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{2},\quad t_1=-12,\quad t_2=2.$$
Тогда
$$ (t+12)(t-2)\le 0,$$
откуда $$-12\le t\le 2.$$
С учётом условия $$t\ge 0$$ получаем $$0\le t\le 2,$$ то есть
$$|x|\le 2.$$
Следовательно,
$$x\in[-2;2].$$
$$6x^2-5|x|+1<0.$$
Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$6t^2-5t+1<0.$$
Найдём корни уравнения $$6t^2-5t+1=0$$:
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2\cdot 6},\quad t_1=\frac{4}{12}=\frac13,\quad t_2=\frac{6}{12}=\frac12.$$
Тогда
$$\left(t-\frac13\right)\left(t-\frac12\right)<0,$$
откуда
$$\frac13<t<\frac12.$$
Возвращаясь к $$t=|x|$$, получаем
$$\frac13<|x|<\frac12.$$
Значит,
$$x\in\left(-\frac12;-\frac13\right)\cup\left(\frac13;\frac12\right).$$