Упр.8.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) x^2-8|x|-33 < 0; 3) x^2-8|x|+15?0; 2) 8x^2+7|x|-1?0; 4) 4x^2-5|x|+1 > 0.
Функции вида $$y=ax^2+b|x|+c$$ чётные, поэтому достаточно рассмотреть замену $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда каждое неравенство сводится к квадратному относительно $$t$$.
$$x^2-8|x|-33<0$$
Положим $$t=|x|$$. Получаем:
$$t^2-8t-33<0$$
Найдём корни:
$$D=8^2+4\cdot 33=64+132=196$$
$$t_{1,2}=\frac{8\pm 14}{2}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=11$$
Тогда
$$-3<t<11$$
С учётом $$t=|x|\ge 0$$ получаем:
$$0\le |x|<11$$
Значит,
$$-11<x<11$$
$$8x^2+7|x|-1\ge 0$$
Положим $$t=|x|$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и имеем:
$$8t^2+7t-1\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=7^2+4\cdot 8\cdot 1=49+32=81$$
$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{16}$$
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac18$$
Тогда
$$8t^2+7t-1\ge 0 \iff t\le -1 \text{ или } t\ge \frac18$$
Так как $$t=|x|\ge 0$$, остаётся:
$$|x|\ge \frac18$$
Следовательно,
$$x\in \left(-\infty;-\frac18\right]\cup \left[\frac18;+\infty\right)$$
$$x^2-8|x|+15\le 0$$
Положим $$t=|x|$$. Тогда:
$$t^2-8t+15\le 0$$
Разложим на множители:
$$t^2-8t+15=(t-3)(t-5)$$
Получаем:
$$ (t-3)(t-5)\le 0 \iff 3\le t\le 5$$
Значит,
$$3\le |x|\le 5$$
Отсюда:
$$x\in [-5;-3]\cup [3;5]$$
$$4x^2-5|x|+1>0$$
Положим $$t=|x|$$. Тогда:
$$4t^2-5t+1>0$$
Найдём корни:
$$D=5^2-4\cdot 4\cdot 1=25-16=9$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{8}$$
$$t_1=\frac14,\quad t_2=1$$
Так как коэффициент при $$t^2$$ положительный, то
$$4t^2-5t+1>0 \iff t<\frac14 \text{ или } t>1$$
С учётом $$t=|x|$$ получаем:
$$|x|<\frac14 \text{ или } |x|>1$$
Следовательно,
$$x\in (-\infty;-1)\cup \left(-\frac14;\frac14\right)\cup (1;+\infty)$$
Ответ
1) $$x\in (-11;11)$$; 2) $$x\in \left(-\infty;-\frac18\right]\cup \left[\frac18;+\infty\right)$$; 3) $$x\in [-5;-3]\cup [3;5]$$; 4) $$x\in (-\infty;-1)\cup \left(-\frac14;\frac14\right)\cup (1;+\infty)$$.
