Упр.8.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) x^2+4x+3 > 0; 6) -3x^2+6x-4 > 0;
2) x^2-3x+2?0; 7) (1/3)x^2-2x+3?0;
3) -x^2+12x+45 < 0; 8) -x^2+(1/3)x-1/36 > 0;
4) -3x^2-5x-2?0; 9) 2x^2-2x+0,5 < 0. 5) 5x^2-3x+1?0;

1. $$x^2+4x+3>0$$
   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$
   $$x_1=\frac{-4-2}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-4+2}{2}=-1$$
   $$ (x+3)(x+1)>0 $$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty).$$
2. $$x^2-3x+2\le 0$$
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$$
   $$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_2=\frac{3+1}{2}=2$$
   $$ (x-1)(x-2)\le 0 $$
   Значит,
   $$x\in[1;2].$$
3. $$-x^2+12x+45<0$$ Умножим на $$-1$$ и изменим знак неравенства: $$x^2-12x-45>0$$
   $$D=12^2+4\cdot 45=144+180=324$$
   $$x_1=\frac{12-18}{2}=-3,\quad x_2=\frac{12+18}{2}=15$$
   $$ (x+3)(x-15)>0 $$
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;-3)\cup(15;+\infty).$$
4. $$-3x^2-5x-2\ge 0$$
   Умножим на $$-1$$ и изменим знак неравенства:
   $$3x^2+5x+2\le 0$$
   $$D=5^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1$$
   $$x_1=\frac{-5-1}{2\cdot 3}=-1,\quad x_2=\frac{-5+1}{2\cdot 3}=-\frac23$$
   $$ (x+1)\left(x+\frac23\right)\le 0 $$
   Значит,
   $$x\in\left[-1;-\frac23\right].$$
5. $$5x^2-3x+1\ge 0$$
   $$D=3^2-4\cdot 5\cdot 1=9-20=-11$$
   Так как $$D<0$$ и $$a=5>0$$, то выражение положительно при всех $$x$$:
   $$x\in\mathbb{R}.$$
6. $$-3x^2+6x-4>0$$
   Умножим на $$-1$$ и изменим знак неравенства:
   $$3x^2-6x+4<0$$ $$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=36-48=-12$$ Так как $$D<0$$ и $$a=3>0$$, квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство решений не имеет:
   $$x\in\varnothing.$$
7. $$\frac13x^2-2x+3\le 0$$
   Умножим на $$3$$:
   $$x^2-6x+9\le 0$$
   $$ (x-3)^2\le 0 $$
   Квадрат неотрицателен, поэтому возможно только равенство нулю:
   $$x=3.$$
8. $$-x^2+\frac13x-\frac1{36}>0$$
   Умножим на $$-36$$ и изменим знак неравенства:
   $$36x^2-12x+1<0$$ $$ (6x-1)^2<0 $$ Квадрат не может быть отрицательным, значит решений нет: $$x\in\varnothing.$$
9. $$2x^2-2x+0{,}5<0$$ Умножим на $$2$$: $$4x^2-4x+1<0$$ $$ (2x-1)^2<0 $$ Квадрат не может быть отрицательным, значит решений нет: $$x\in\varnothing.$$

Ответ

1) $$(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty)$$;
2) $$[1;2]$$;
3) $$(-\infty;-3)\cup(15;+\infty)$$;
4) $$\left[-1;-\frac23\right]$$;
5) $$\mathbb{R}$$;
6) $$\varnothing$$;
7) $$\{3\}$$;
8) $$\varnothing$$;
9) $$\varnothing$$.