Упр.8.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему неравенств:

1. $$\begin{cases} -6x^2+13x-5?0,\\ 6-2x>0; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x^2-7x-18<0,\\ 5x-x^2?0. \end{cases}$$

1. $$-6x^2+13x-5\le 0,$$
   $$6-2x>0.$$

   Решим первое неравенство:
   $$-6x^2+13x-5\le 0$$
   $$6x^2-13x+5\ge 0.$$
   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$D=13^2-4\cdot 6\cdot 5=169-120=49,$$
   $$x_{1,2}=\frac{13\pm 7}{12}.$$
   Тогда
   $$x_1=\frac12,\qquad x_2=\frac53.$$
   Следовательно,
   $$\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac53\right)\ge 0,$$
   откуда
   $$x\le \frac12 \quad \text{или} \quad x\ge \frac53.$$

   Решим второе неравенство:
   $$6-2x>0$$
   $$-2x>-6$$
   $$x<3.$$

   Пересекаем решения:
   $$\left((-\infty;\tfrac12]\cup[\tfrac53;+\infty)\right)\cap(-\infty;3) =(-\infty;\tfrac12]\cup[\tfrac53;3).$$

2. $$x^2-7x-18<0,$$
   $$5x-x^2\le 0.$$

   Решим первое неравенство:
   $$x^2-7x-18<0$$
   $$(x+2)(x-9)<0.$$
   Тогда
   $$-2<x<9.$$

   Решим второе неравенство:
   $$5x-x^2\le 0$$
   $$x^2-5x\ge 0$$
   $$x(x-5)\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$

   Пересекаем решения:
   $$(-2;9)\cap\bigl((-\infty;0]\cup[5;+\infty)\bigr)=(-2;0]\cup[5;9).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;\tfrac12]\cup[\tfrac53;3).$$

2) $$x\in(-2;0]\cup[5;9).$$