Упр.8.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2-x-6?0, x > 0); 3) {(x^2-9x-10?0, 6x-x^2 < 0); 2) {(2x^2-11x-6?0, x+4?0); 4) {(x^2-x-12?0, x^2+3x-10 < 0).

1. $$\begin{cases} x^2-x-6\le 0,\\ x>0 \end{cases}$$
   Разложим на множители:
   $$x^2-x-6=(x+2)(x-3).$$
   Тогда
   $$ (x+2)(x-3)\le 0 \Rightarrow -2\le x\le 3.$$
   С учётом условия $$x>0$$ получаем:
   $$x\in(0;3].$$
2. $$\begin{cases} 2x^2-11x-6\ge 0,\\ x+4\ge 0 \end{cases}$$
   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$D=11^2-4\cdot 2\cdot(-6)=121+48=169,$$
   $$x_{1,2}=\frac{11\pm 13}{4}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-\frac12,\quad x_2=6.$$
   Значит,
   $$2x^2-11x-6\ge 0 \Rightarrow x\le -\frac12 \text{ или } x\ge 6.$$
   Второе неравенство даёт:
   $$x\ge -4.$$
   Пересечение решений:
   $$x\in[-4;-\tfrac12]\cup[6;+\infty).$$
3. $$\begin{cases} x^2-9x-10\le 0,\\ 6x-x^2<0 \end{cases}$$
   Первое неравенство:
   $$x^2-9x-10=(x+1)(x-10),$$
   поэтому
   $$-1\le x\le 10.$$
   Второе неравенство:
   $$6x-x^2<0 \Rightarrow x^2-6x>0 \Rightarrow x(x-6)>0,$$
   откуда
   $$x<0 \text{ или } x>6.$$
   Пересечение:
   $$x\in[-1;0)\cup(6;10].$$
4. $$\begin{cases} x^2-x-12\ge 0,\\ x^2+3x-10<0 \end{cases}$$
   Первое неравенство:
   $$x^2-x-12=(x+3)(x-4),$$
   значит
   $$x\le -3 \text{ или } x\ge 4.$$
   Второе неравенство:
   $$x^2+3x-10=(x+5)(x-2),$$
   поэтому
   $$-5<x<2.$$
   Пересечение:
   $$x\in(-5;-3].$$

Ответ

1) $$x\in(0;3]$$; 2) $$x\in[-4;-\tfrac12]\cup[6;+\infty)$$; 3) $$x\in[-1;0)\cup(6;10]$$; 4) $$x\in(-5;-3]$$.