Упр.8.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) x^2-8bx+15b+1=0; 2) 2x^2+2(b-6)x+b-2=0?

1) Рассмотрим уравнение $$x^2-8bx+15b+1=0.$$

Чтобы оно имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным:

$$D=( -8b)^2-4\cdot 1\cdot(15b+1)=64b^2-60b-4.$$

Тогда

$$64b^2-60b-4>0,$$

$$4(16b^2-15b-1)>0,$$

$$16b^2-15b-1>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D_1=15^2+4\cdot 16=225+64=289,$$

$$b_{1,2}=\frac{15\pm 17}{32}.$$

Отсюда

$$b_1=-\frac{1}{16}, \qquad b_2=1.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$16b^2-15b-1>0 \iff b<-\frac{1}{16}\ \text{или}\ b>1.$$

2) Рассмотрим уравнение $$2x^2+2(b-6)x+b-2=0.$$

Для двух различных корней нужно, чтобы дискриминант был положительным:

$$D=[2(b-6)]^2-4\cdot 2\cdot(b-2)=4(b-6)^2-8(b-2).$$

Упростим:

$$D=4(b^2-12b+36-2b+4)=4(b^2-14b+40).$$

Тогда

$$b^2-14b+40>0.$$

Найдём корни:

$$D_2=14^2-4\cdot 40=196-160=36,$$

$$b_{1,2}=\frac{14\pm 6}{2}.$$

Получаем

$$b_1=4,\qquad b_2=10.$$

Следовательно,

$$b^2-14b+40>0 \iff b<4\ \text{или}\ b>10.$$

Ответ

1) $$b\in(-\infty;-\frac{1}{16})\cup(1;+\infty).$$

2) $$b\in(-\infty;4)\cup(10;+\infty).$$