Упр.8.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
- Равносильны ли неравенства:
а) $$x^2-2x-15>0$$ и $$x^2-2x-15\ ?\ 0$$;
б) $$\frac{1}{x^2-x-20}<0$$ и $$\frac{1}{x^2-x-20}\ ?\ 0$$; в) $$x^2-6x+10>0$$ и $$-x^2+x-1\ ?\ 0$$;
г) $$x^2+2x+3<0$$ и $$-2x^2-4>0$$?
$$x^2-2x-15>0$$ и $$x^2-2x-15\ge 0$$.
Во втором неравенстве допускается равенство нулю, а в первом — нет. Значит, неравенства неравносильны.
Ответ: нет.
$$\frac{1}{x^2-x-20}<0$$ и $$\frac{1}{x^2-x-20}\le 0$$.
Дробь $$\frac{1}{x^2-x-20}$$ не может быть равна нулю, поэтому неравенства задают одно и то же множество решений.
Ответ: да.
$$x^2-6x+10>0$$ и $$-x^2+x-1\le 0$$.
Для первого неравенства:
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0,$$
$$a=1>0,$$
значит, $$x^2-6x+10>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.Для второго неравенства:
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0,$$
$$a=-1<0,$$
значит, $$-x^2+x-1\le 0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.Оба неравенства имеют одно и то же множество решений.
Ответ: да.
$$x^2+2x+3<0$$ и $$-2x^2-4>0$$.
Для первого неравенства:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0,$$
$$a=1>0,$$
значит, $$x^2+2x+3>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому решений у неравенства $$x^2+2x+3<0$$ нет.Для второго неравенства:
$$-2x^2-4>0$$
$$\Rightarrow -2(x^2+2)>0$$
$$\Rightarrow x^2+2<0,$$а это невозможно при любых $$x$$. Значит, решений тоже нет.
Оба неравенства не имеют решений, следовательно, они равносильны.
Ответ: да.
