Упр.7.68 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.68. Докажите, что при всех a?[0; 1], b?[0; 1], c?[0; 1] выполняется неравенство a^2+b^2+c^2?a^2b+b^2c+c^2a+1.

Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a+1). $$

Обозначим $$a=x$$ и введём функцию

$$ f(x)=x^2+b^2+c^2-(x^2b+b^2c+c^2x+1). $$

Тогда

$$ f(x)=(1-b)x^2-c^2x+b^2+c^2-b^2c-1. $$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$0\le b<1,$$ то коэффициент при $$x^2$$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх. На отрезке $$[0;1]$$ максимум достигается на концах:

   $$ f(1)=(1-b)-c^2+b^2+c^2-b^2c-1=b^2-b^2c-b=b\bigl((1-c)b-1\bigr)\le 0, $$

   так как $$0\le b\le 1$$ и $$0\le c\le 1.$$

   Также

   $$ f(0)=b^2+c^2-b^2c-1=b^2(1-c)-(1-c^2)=\bigl(b^2-(1+c)\bigr)(1-c)\le 0. $$

2. Если $$b=1,$$ то

   $$ f(x)=x^2+1+c^2-(x^2+c^2+c^2x+1)=-c^2x+c^2-c. $$

   Это линейная функция, убывающая на $$[0;1]$$, поэтому

   $$ \max_{x\in[0;1]} f(x)=f(0)=c^2-c=c(c-1)\le 0. $$

Во всех случаях $$f(x)\le 0,$$ значит,

$$ a^2+b^2+c^2\le a^2b+b^2c+c^2a+1. $$

Ответ

$$a^2+b^2+c^2\le a^2b+b^2c+c^2a+1.$$