Упр.7.67 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.67. Рассматриваются все параболы вида y=x^2+px+q, q < 0, которые пересекают оси координат в трёх точках. Для каждой параболы через указанные три точки проводят окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Подробный ответ

Пусть парабола $$y=x^2+px+q$$, где $$q<0$$, пересекает оси координат в точках $$A(0;q)$$, $$B(x_1;0)$$ и $$C(x_2;0)$$.

По теореме Виета для корней уравнения $$x^2+px+q=0$$ имеем:

$$x_1x_2=q,$$

значит,

$$OB\cdot OC=|x_1|\cdot|x_2|=|q|.$$

Так как точка $$A$$ лежит на оси ординат, то

$$OA=|q|.$$

Пусть через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ проведена окружность, а точка $$D$$ — её вторая точка пересечения с осью ординат. Тогда по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

$$OB\cdot OC=OA\cdot OD.$$

Подставляя найденные значения, получаем:

$$|q|=|q|\cdot OD,$$

откуда

$$OD=1.$$

Следовательно, точка $$D$$ имеет координаты $$\left(0;1\right)$$ и не зависит от выбора параболы.

Значит, все такие окружности проходят через одну и ту же точку $$\left(0;1\right)$$.