Упр.7.66 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.66. Рассматриваются все параболы вида y=x^2+px+q, q > 0, которые пересекают оси координат в трёх точках. Для каждой параболы через указанные три точки проводят окружность. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку.

Подробный ответ

Пусть парабола $$y=x^2+px+q$$, где $$q>0$$, пересекает оси координат в точках $$A(0;q)$$, $$B(x_1;0)$$ и $$C(x_2;0)$$.

Так как точки $$B$$ и $$C$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0$$, то по теореме Виета

$$x_1x_2=q.$$

Пусть окружность, проведённая через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, пересекает ось $$Oy$$ ещё раз в точке $$D(0;d)$$. Тогда для двух секущих, проведённых из точки $$O(0;0)$$, имеем

$$OB\cdot OC=OA\cdot OD.$$

Подставим найденные значения:

$$x_1x_2=q,\qquad OA=q.$$

Следовательно,

$$q= q\cdot d,$$

откуда

$$d=1.$$

Значит, точка $$D$$ всегда имеет координаты $$\,(0;1)\,$$ и не зависит от выбора параболы.