Упр.7.65 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.65. Функция f(x)=x^2+bx+c имеет два нуля, один из которых принадлежит промежутку (0; 1), а другой не принадлежит этому промежутку. Докажите, что f(c)?0.

Пусть нули функции $$f(x)=x^2+bx+c$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём один из них принадлежит промежутку $$\left(0;1\right)$$, а другой — нет.

Тогда на концах отрезка $$[0;1]$$ значения функции имеют разные знаки или одно из них равно нулю, значит

$$f(0)\cdot f(1)\le 0.$$

Вычислим:

$$f(0)=c,$$

$$f(1)=1+b+c.$$

Тогда

$$f(c)=c^2+bc+c=c(1+b+c)=f(0)\cdot f(1)\le 0.$$

Следовательно, $$f(c)\le 0$$.

Ответ

$$f(c)\le 0$$