Упр.7.64 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.64. На координатной плоскости xy укажите все точки, через которые не проходит ни одна из парабол вида y=x^2-4ax+2a^2-3.

Рассмотрим семейство парабол

$$y=x^2-4ax+2a^2-3.$$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат по параметру $$a$$:

$$y=x^2-4ax+2a^2-3=(x-2a)^2-2a^2-3.$$

Для фиксированной точки $$\left(x,y\right)$$ она принадлежит хотя бы одной из этих парабол, если существует такое $$a$$, что

$$y=(x-2a)^2-2a^2-3.$$

Перенесём всё в одну сторону и рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$a$$:

$$2a^2-4xa+x^2-y-3=0.$$

Чтобы такое уравнение имело решение, его дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=(-4x)^2-4\cdot 2\cdot (x^2-y-3)=16x^2-8x^2+8y+24=8(x^2+y+3).$$

Следовательно, решение по $$a$$ существует тогда и только тогда, когда

$$8(x^2+y+3)\ge 0,$$

то есть

$$y\ge -x^2-3.$$

Значит, точки, через которые не проходит ни одна из данных парабол, удовлетворяют неравенству

$$y<-x^2-3.$$

Ответ

$$y<-x^2-3.$$