Упр.7.63 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.63. Определите количество корней уравнения x^4+2ax^2-x+a^2+a=0 в зависимости от значения параметра a.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$a$$:

$$a^2+(2x^2+1)a+x^4-x=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2x^2+1)^2-4(x^4-x)=4x^4+4x^2+1-4x^4+4x=4x^2+4x+1=(2x+1)^2.$$

Тогда

$$a_{1,2}=\frac{-(2x^2+1)\pm(2x+1)}{2}.$$

Получаем две функции:

$$a_1=-x^2-x-1,$$

$$a_2=-x^2+x.$$

Число корней исходного уравнения равно числу точек пересечения графиков этих парабол с горизонтальной прямой $$a=\text{const}$$.

Для функции $$a=-x^2-x-1$$ вершина имеет ординату

$$y_0=-\left(-\frac12\right)^2+\frac12-1=-\frac34.$$

Значит, её значения: $$a\le -\frac34.$$

Для функции $$a=-x^2+x$$ вершина имеет ординату

$$y_0=-\left(\frac12\right)^2+\frac12=\frac14.$$

Значит, её значения: $$a\le \frac14.$$

Сравнивая положение прямой $$a=\text{const}$$ с графиками, получаем:

• если $$a>\frac14,$$ корней нет;
• если $$a=\frac14,$$ один корень;
• если $$-\frac34\le a<\frac14,$$ два корня;
• если $$a<-\frac34,$$ четыре корня.

Ответ

$$\begin{cases} a>\frac14 & \text{— корней нет},\\ a=\frac14 & \text{— один корень},\\ -\frac34\le a<\frac14 & \text{— два корня},\\ a<-\frac34 & \text{— четыре корня}. \end{cases}$$