Упр.7.61 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.61. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x^2-2ax+a^2-a+1=0 будет наименьшей?

Подробный ответ

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения

$$x^2-2ax+a^2-a+1=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=2a,\qquad x_1x_2=a^2-a+1.$$

Тогда сумма квадратов корней равна

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим:

$$x_1^2+x_2^2=(2a)^2-2(a^2-a+1)=4a^2-2a^2+2a-2=2a^2+2a-2.$$

Получили квадратичную функцию от $$a$$:

$$S(a)=2a^2+2a-2.$$

Её наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$$a=-\frac{2}{2\cdot 2}=-\frac12.$$

Проверим, что при этом уравнение имеет действительные корни:

$$D=(-2a)^2-4(a^2-a+1)=4a^2-4a^2+4a-4=4(a-1).$$

При $$a=-\frac12$$ имеем

$$D=4\left(-\frac12-1\right)=-6<0,$$

то есть действительных корней нет. Значит, нужно учитывать только те значения $$a$$, при которых уравнение имеет корни:

$$D\ge 0 \;\Rightarrow\; 4(a-1)\ge 0 \;\Rightarrow\; a\ge 1.$$

На промежутке $$a\ge 1$$ функция $$S(a)=2a^2+2a-2$$ возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при наименьшем допустимом $$a$$, то есть при $$a=1$$.

При $$a=1$$:

$$x^2-2x+1=0,$$

$$x_1=x_2=1,$$

$$x_1^2+x_2^2=1^2+1^2=2.$$