Упр.7.60 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.60. При каких значениях параметра a наименьшее значение функции y=x^2-4x+3+|x-a| на R меньше чем 2?

Найдем, при каких значениях параметра $$a$$ наименьшее значение функции

$$y=x^2-4x+3+|x-a|$$

на множестве $$\mathbb{R}$$ меньше $$2$$.

Это равносильно тому, что неравенство

$$x^2-4x+3+|x-a|<2$$

имеет хотя бы одно решение.

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x-a\ge 0$$, то $$|x-a|=x-a$$ и получаем:

$$x^2-4x+3+x-a<2$$

$$x^2-3x+1-a<0.$$

Чтобы это квадратное неравенство имело решения, нужно, чтобы дискриминант был положительным:

$$D= (-3)^2-4(1-a)=9-4+4a=5+4a.$$

Тогда

$$5+4a>0,$$

$$a>-\frac{5}{4}.$$

2) Если $$x-a<0$$, то $$|x-a|=a-x$$ и получаем:

$$x^2-4x+3+a-x<2$$

$$x^2-5x+1+a<0.$$

Для существования решений необходимо:

$$D= (-5)^2-4(1+a)=25-4-4a=21-4a>0,$$

откуда

$$21-4a>0,$$

$$a<\frac{21}{4}.$$

Объединяя условия, получаем:

$$-\frac{5}{4}<a<\frac{21}{4}.$$

Ответ

$$a\in\left(-\frac{5}{4};\frac{21}{4}\right).$$