Упр.7.59 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.59. При каких значениях параметра a уравнение |x^2-4x+3|+x-a=0 имеет три корня?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$|x^2-4x+3|+x-a=0.$$

Перенесём параметр в правую часть:

$$|x^2-4x+3|=a-x.$$

Обозначим

$$f(x)=|x^2-4x+3|,\qquad g(x)=a-x.$$

График функции $$y=|x^2-4x+3|=|(x-2)^2-1|$$ состоит из двух частей:

при $$x\le 1$$ и $$x\ge 3$$ имеем $$y=(x-2)^2-1,$$ а при $$1\le x\le 3$$ имеем $$y=1-(x-2)^2.$$

Чтобы уравнение имело три корня, прямая $$y=a-x$$ должна пересекать график $$y=|x^2-4x+3|$$ в трёх точках.

Рассмотрим пересечения с каждой частью графика.

1) На промежутке $$1\le x\le 3$$:

$$1-(x-2)^2=a-x,$$

$$1-(x^2-4x+4)=a-x,$$

$$-x^2+4x-3=a-x,$$

$$x^2-5x+a+3=0.$$

Чтобы было одно пересечение с этой частью, дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=25-4(a+3)=13-4a=0,$$

откуда

$$a=\frac{13}{4}.$$

2) На внешних ветвях $$x\le 1$$ и $$x\ge 3$$:

$$ (x-2)^2-1=a-x,$$

$$x^2-4x+3=a-x,$$

$$x^2-3x+3-a=0.$$

При $$a=\frac{13}{4}$$ это уравнение имеет два корня, и один из них лежит слева от $$1$$, а другой — справа от $$3$$, значит всего получается три корня.

Проверим ещё случай, когда прямая проходит через вершину средней части графика. Это происходит при

$$a=3,$$

и тогда также получается три точки пересечения.

Итак, уравнение имеет три корня при

$$a=3 \quad \text{или} \quad a=\frac{13}{4}.$$