Упр.7.58 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.58. Найдите наименьшее значение функции y(x^2+x)^2+2(x^2+x)+2 на D(f).

Положим $$t=x^2+x.$$ Тогда

$$y=t^2+2t+2.$$

Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, так как $$a=1>0.$$ Его вершина имеет абсциссу

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1.$$

Значит, наименьшее значение функции $$y(t)$$ равно

$$y_{\min}=(-1)^2+2\cdot(-1)+2=1.$$

Но нужно учесть, что $$t=x^2+x$$ не может принимать произвольные значения. Найдём его наименьшее значение:

$$t=x^2+x=\left(x+\frac12\right)^2-\frac14.$$

Следовательно,

$$t_{\min}=-\frac14.$$

Так как функция $$y=t^2+2t+2$$ возрастает при $$t\ge -1$$, а $$-\frac14>-1,$$ то наименьшее значение $$y$$ на области значений $$t$$ достигается при $$t=-\frac14.$$ Тогда

$$y_{\min}=\left(-\frac14\right)^2+2\cdot\left(-\frac14\right)+2 =\frac{1}{16}-\frac12+2 =\frac{25}{16}.$$

Ответ

$$\frac{25}{16}$$