Упр.7.57 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.57. Дана функция f(t)=-t^2-2t. Постройте график функции g, если g(x)=max_[x; x+1] f(t). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 7-57 95

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(t)=-t^2-2t=-(t+1)^2+1.$$ Это парабола с ветвями вниз, её вершина имеет координаты $$(-1;1).$$

Найдём, где функция возрастает и убывает: до вершины она возрастает, после вершины убывает. Поэтому максимум на отрезке $$[x;x+1]$$ достигается:

в правом конце отрезка, если весь отрезок лежит левее вершины;
в вершине, если вершина принадлежит отрезку;
в левом конце отрезка, если весь отрезок лежит правее вершины.

То есть

$$ g(x)=\max_{t\in[x;x+1]} f(t)= \begin{cases} f(x+1), & x\le -2,\\ 1, & -2<x<-1,\\ f(x), & x\ge -1. \end{cases} $$

Вычислим выражения для крайних случаев:

$$ f(x+1)=-(x+1)^2-2(x+1)=-x^2-4x-3, $$
$$ f(x)=-x^2-2x. $$

Следовательно,

$$ g(x)= \begin{cases} -x^2-4x-3, & x\le -2,\\ 1, & -2<x<-1,\\ -x^2-2x, & x\ge -1. \end{cases} $$

График функции состоит из левой части параболы $$y=-x^2-4x-3$$ при $$x\le -2,$$ горизонтального отрезка $$y=1$$ при $$-2<x<-1,$$ и правой части параболы $$y=-x^2-2x$$ при $$x\ge -1.$$