Упр.7.56 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.56. Дана функция f(t)=t^2-2t. Постройте график функции g, если g(x)=min_[x-1; x] f(t).

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(t)=t^2-2t=(t-1)^2-1.$$

Это парабола с ветвями вверх, её вершина имеет координаты $$\left(1;\,-1\right).$$

Нужно найти

$$g(x)=\min_{[x-1;\,x]} f(t).$$

Так как парабола убывает на $$(-\infty;\,1]$$ и возрастает на $$[1;\,+\infty),$$ минимум на отрезке $$[x-1;\,x]$$ зависит от того, где расположен отрезок относительно точки $$t=1.$$

Если $$x\le 1,$$ то весь отрезок $$[x-1;\,x]$$ лежит левее или в точке $$1,$$ а значит, на нём функция убывает. Минимум достигается в правом конце:
$$g(x)=f(x)=x^2-2x.$$
Если $$1<x<2,$$ то точка $$1$$ принадлежит отрезку $$[x-1;\,x],$$ поэтому минимум равен значению в вершине:
$$g(x)=f(1)=-1.$$
Если $$x\ge 2,$$ то весь отрезок $$[x-1;\,x]$$ лежит правее или в точке $$1,$$ а значит, на нём функция возрастает. Минимум достигается в левом конце:
$$g(x)=f(x-1)=(x-1)^2-2(x-1)=x^2-4x+3.$$

Итак,

$$ g(x)= \begin{cases} x^2-2x, & x\le 1,\\ -1, & 1<x<2,\\ x^2-4x+3, & x\ge 2. \end{cases} $$

График функции состоит из трёх частей: участка параболы $$y=x^2-2x$$ при $$x\le 1,$$ горизонтального отрезка $$y=-1$$ при $$1<x<2,$$ и участка параболы $$y=x^2-4x+3$$ при $$x\ge 2.$$