Упр.7.55 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.55. Параметр a принимает все действительные значения. Докажите, что вершины парабол f(x)=x^2-2ax+2a^2+1 образуют’ параболу.

Дана парабола

$$y=x^2-2ax+2a^2+1.$$

Найдём координаты её вершины.

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{-2a}{2\cdot 1}=a.$$

Ордината вершины:

$$y_0=f(a)=a^2-2a\cdot a+2a^2+1=a^2+1.$$

Значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(a,\ a^2+1\right).$$

Поскольку параметр $$a$$ принимает все действительные значения, то множество вершин задаётся уравнениями

$$x=a,\qquad y=a^2+1.$$

Исключим параметр $$a$$:

$$y=x^2+1.$$

Следовательно, вершины всех таких парабол лежат на параболе $$y=x^2+1.$$

Ответ

Вершины парабол образуют параболу $$y=x^2+1.$$