Упр.7.54 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.54. Параметр a принимает все действительные значения. Докажите, что вершины парабол f(x)=-x^2+2ax-a^2+a+1 образуют прямую. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 7-54 95

Рассмотрим параболу

$$y=-x^2+2ax-a^2+a+1.$$

Найдём координаты её вершины.

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a}{2\cdot(-1)}=a.$$

Ордината вершины:

$$y_0=f(a)=-a^2+2a\cdot a-a^2+a+1=a+1.$$

Значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(a,\ a+1\right).$$

Поскольку параметр $$a$$ принимает любые действительные значения, то координаты всех вершин удовлетворяют уравнению

$$y=x+1.$$

Следовательно, вершины всех парабол лежат на одной прямой.

Ответ

Вершины парабол образуют прямую $$y=x+1.$$