Упр.7.52 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.52. Известно, что 2p-q=4. Докажите, что все параболы вида y=x^2+px+q проходят через одну точку.

Из условия имеем:

$$2p-q=4,$$

откуда

$$q=2p-4.$$

Тогда уравнение любой такой параболы можно записать в виде

$$y=x^2+px+2p-4.$$

Проверим, проходит ли она через одну и ту же точку. Для этого найдём её пересечение с осью $$Ox$$, то есть решим уравнение

$$x^2+px+2p-4=0.$$

Дискриминант:

$$D=p^2-4(2p-4)=p^2-8p+16=(p-4)^2.$$

Тогда корни:

$$x_{1,2}=\frac{-p\pm(p-4)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{-p+p-4}{2}=-2,$$

$$x_2=\frac{-p-(p-4)}{2}=2-p.$$

Значит, у всех таких парабол есть общий корень $$x=-2$$, следовательно, они проходят через точку $$(-2;0)$$.

Ответ

Все параболы проходят через точку $$(-2;0)$$.