Упр.7.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) |x^2-2|x|-3|=a; 2) x^2-4|x-1|-1=a.
1) Рассмотрим уравнение $$|x^2-2|x|-3|=a.$$
Положим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда получаем
$$|t^2-2t-3|=a.$$
Исследуем функцию $$y=t^2-2t-3=(t-1)^2-4,\quad t\ge 0.$$
Её график на луче $$t\ge 0$$ даёт значения:
- при $$0\le t\le 3$$: $$y\le 0,$$ поэтому $$|y|=-y=-t^2+2t+3;$$
- при $$t\ge 3$$: $$y\ge 0,$$ поэтому $$|y|=y=t^2-2t-3.$$
Тогда число корней уравнения $$|x^2-2|x|-3|=a$$ равно числу решений уравнений
$$-t^2+2t+3=a \quad (0\le t\le 3),$$
$$t^2-2t-3=a \quad (t\ge 3),$$
с учётом того, что каждому $$t>0$$ соответствуют два значения $$x=\pm t,$$ а при $$t=0$$ — одно значение $$x=0.$$
Из графика получаем:
- если $$a<0,$$ корней нет;
- если $$a=0$$ или $$a>4,$$ то два корня;
- если $$a=4$$ или $$0<a<3,$$ то четыре корня;
- если $$a=3,$$ то пять корней;
- если $$3<a<4,$$ то шесть корней.
2) Рассмотрим уравнение $$x^2-4|x-1|-1=a.$$
Разберём по случаям.
Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ и
$$x^2-4(x-1)-1=a,$$
то есть
$$x^2-4x+3=a.$$
Это парабола с вершиной в точке $$\left(2,-1\right).$$ На промежутке $$x\ge 1$$ она проходит через точки $$\left(1,0\right),\left(3,0\right),\left(4,3\right).$$
Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ и
$$x^2-4(1-x)-1=a,$$
то есть
$$x^2+4x-5=a.$$
Это парабола с вершиной в точке $$\left(-2,-9\right).$$ На промежутке $$x<1$$ она проходит через точки $$\left(-1,-8\right),\left(0,-5\right),\left(1,0\right).$$
По графику функции $$y=x^2-4|x-1|-1$$ получаем число корней уравнения $$x^2-4|x-1|-1=a$$:
- если $$a<-9,$$ корней нет;
- если $$a=-9,$$ один корень;
- если $$-9<a<-1$$ или $$a>0,$$ два корня;
- если $$a=-1$$ или $$a=0,$$ три корня;
- если $$-1<a<0,$$ четыре корня.
Ответ
1) $$a<0$$ — корней нет; $$a=0$$ или $$a>4$$ — два корня; $$a=4$$ или $$0<a<3$$ — четыре корня; $$a=3$$ — пять корней; $$3<a<4$$ — шесть корней.
2) $$a<-9$$ — корней нет; $$a=-9$$ — один корень; $$-9<a<-1$$ или $$a>0$$ — два корня; $$a=-1$$ или $$a=0$$ — три корня; $$-1<a<0$$ — четыре корня.
