Упр.7.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) |x^2-4|x|+3|=a; 2) x^2+3|x-1|-1=a.
- Рассмотрим уравнение
$$|x^2-4|x|+3|=a.$$
Обозначим
$$f(x)=|x^2-4|x|+3|.$$
Так как под модулем стоит выражение, неотрицательное значение функции зависит от графика
$$y=x^2-4|x|+3.$$
Положим $$t=|x| \ge 0$$. Тогда
$$y=t^2-4t+3=(t-2)^2-1.$$
Отсюда:- минимум функции равен $$-1$$ при $$t=2$$, то есть при $$x=\pm 2$$;
- после внешнего модуля получаем значения $$f(x)\ge 0$$.
По графику функции $$f(x)$$ число решений уравнения $$f(x)=a$$ зависит от положения прямой $$y=a$$:
- если $$a<0$$, корней нет;
- если $$a=0$$, корней два;
- если $$0<a<1$$, корней восемь;
- если $$a=1$$, корней шесть;
- если $$1<a<3$$, корней четыре;
- если $$a=3$$, корней три;
- если $$a>3$$, корней два.
- Рассмотрим уравнение
$$x^2+3|x-1|-1=a.$$
Обозначим
$$g(x)=x^2+3|x-1|-1.$$
Разберём по случаям.1) Если $$x\ge 1$$, то $$|x-1|=x-1$$ и
$$g(x)=x^2+3(x-1)-1=x^2+3x-4.$$
Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина:
$$x_0=-\frac{3}{2},$$
но она лежит вне области $$x\ge 1$$. Значит, на промежутке $$x\ge 1$$ функция возрастает, и
$$g(1)=1+0-1=0.$$
Следовательно, при $$x\ge 1$$ значения функции: $$g(x)\ge 0$$.2) Если $$x<1$$, то $$|x-1|=1-x$$ и
$$g(x)=x^2+3(1-x)-1=x^2-3x+2.$$
Это также парабола, ветви вверх. Её вершина:
$$x_0=\frac{3}{2},$$
но она не принадлежит области $$x<1$$. На промежутке $$x<1$$ функция убывает, а
$$\lim_{x\to 1-} g(x)=0.$$
Значит, и здесь $$g(x)\ge 0$$.Итак, функция $$g(x)$$ принимает значения от $$0$$ и выше. По графику получаем:
- если $$a<0$$, корней нет;
- если $$a=0$$, один корень;
- если $$a>0$$, два корня.
Ответ
1) если $$a<0$$, то корней нет; если $$a=0$$, то два корня; если $$0<a<1$$, то восемь корней; если $$a=1$$, то шесть корней; если $$1<a<3$$, то четыре корня; если $$a=3$$, то три корня; если $$a>3$$, то два корня.
2) если $$a<0$$, то корней нет; если $$a=0$$, то один корень; если $$a>0$$, то два корня.
