Упр.7.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) y=|x^2-2|x||; 2) y=|x^2-2|x|-3|.

1) Рассмотрим функцию $$y=|x^2-2|x||.$$

Так как выражение под модулем зависит от $$|x|,$$ удобно раскрыть модуль по промежуткам.

При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x,$$ значит

$$y=|x^2-2x|.$$

Выражение $$x^2-2x=x(x-2)$$ меняет знак в точках $$x=0$$ и $$x=2.$$ Поэтому:

$$ y= \begin{cases} x^2-2x, & x\le 0,\\ -(x^2-2x)=-x^2+2x, & 0\le x\le 2,\\ x^2-2x, & x\ge 2. \end{cases} $$

График состоит из частей параболы $$y=x^2-2x$$ и её отражения относительно оси $$Ox$$ на отрезке $$[0;2].$$

2) Рассмотрим функцию $$y=|x^2-2|x|-3|.$$

При $$x\ge 0$$ получаем

$$y=|x^2-2x-3|.$$

Квадратный трёхчлен раскладывается на множители:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$

На промежутке $$x\ge 0$$ нули выражения: $$x=3.$$

Значит, при $$x\ge 0$$

$$ y= \begin{cases} x^2-2x-3, & 0\le x\le 3,\\ -x^2+2x+3, & x\ge 3. \end{cases} $$

При $$x\le 0$$ имеем $$|x|=-x,$$ поэтому

$$y=|x^2+2x-3|.$$

Трёхчлен $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$$ на промежутке $$x\le 0$$ меняет знак в точке $$x=-3.$$ Тогда

$$ y= \begin{cases} x^2+2x-3, & x\le -3,\\ -x^2-2x+3, & -3\le x\le 0. \end{cases} $$

Итак, график строится по частям, с учётом отражения отрицательных значений относительно оси $$Ox.$$

Ответ

$$ 1)\quad y= \begin{cases} x^2-2x, & x\le 0,\\ -x^2+2x, & 0\le x\le 2,\\ x^2-2x, & x\ge 2; \end{cases} $$

$$ 2)\quad y= \begin{cases} x^2+2x-3, & x\le -3,\\ -x^2-2x+3, & -3\le x\le 0,\\ x^2-2x-3, & 0\le x\le 3,\\ -x^2+2x+3, & x\ge 3. \end{cases} $$