Упр.7.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) y=x^2-4x-5; 4) y=2x^2-8x+8;
2) y=-x^2+2x+3; 5) y=x^2-2x+4;
3) y=6x-x^2; 6) y=-(1/2)x^2+3x-4.

Подробный ответ

$$y=x^2-4x-5$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$
$$y_0=2^2-4\cdot 2-5=4-8-5=-9.$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=1>0.$$
Найдём точки пересечения с осями:
$$x^2-4x-5=0,$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}, \quad x_1=-1,\; x_2=5.$$
$$y(0)=-5.$$
Для построения можно взять точки: $$(-1,0),\ (0,-5),\ (2,-9),\ (5,0).$$
$$y=-x^2+2x+3$$
Координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$
$$y_0=-1^2+2\cdot 1+3=4.$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-1<0.$$
Найдём точки пересечения с осями:
$$-x^2+2x+3=0,$$
$$x^2-2x-3=0,$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}, \quad x_1=-1,\; x_2=3.$$
$$y(0)=3.$$
Для построения можно взять точки: $$(-1,0),\ (0,3),\ (1,4),\ (3,0).$$
$$y=6x-x^2$$
Приведём к стандартному виду:
$$y=-x^2+6x.$$
Координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,$$
$$y_0=6\cdot 3-3^2=18-9=9.$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-1<0.$$
Точки пересечения с осями:
$$6x-x^2=0,$$
$$x(6-x)=0,$$
$$x_1=0,\; x_2=6,$$
$$y(0)=0.$$
Для построения можно взять точки: $$ (0,0),\ (1,5),\ (2,8),\ (3,9),\ (4,8),\ (5,5),\ (6,0).$$
$$y=2x^2-8x+8$$
Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 2}=2,$$
$$y_0=2\cdot 2^2-8\cdot 2+8=8-16+8=0.$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=2>0.$$
Преобразуем выражение:
$$2x^2-8x+8=2(x^2-4x+4)=2(x-2)^2.$$
Отсюда видно, что график касается оси $$Ox$$ в точке $$x=2.$$
$$y(0)=8.$$
Для построения можно взять точки: $$ (1,2),\ (2,0),\ (3,2),\ (4,8).$$
$$y=x^2-2x+4$$
Координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,$$
$$y_0=1^2-2\cdot 1+4=3.$$
Ветви параболы направлены вверх, так как $$a=1>0.$$
Проверим пересечение с осью $$Ox$$:
$$x^2-2x+4=0,$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12<0.$$
Значит, действительных корней нет, график ось $$Ox$$ не пересекает.
$$y(0)=4.$$
Для построения можно взять точки: $$ (0,4),\ (1,3),\ (2,4),\ (3,7),\ (4,12).$$
$$y=-\frac12x^2+3x-4$$
Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-\frac12)}=3,$$
$$y_0=-\frac12\cdot 3^2+3\cdot 3-4=-\frac92+9-4=\frac12.$$
Ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-\frac12<0.$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$-\frac12x^2+3x-4=0,$$
$$x^2-6x+8=0,$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}, \quad x_1=2,\; x_2=4.$$
$$y(0)=-4.$$
Для построения можно взять точки: $$(-1,-\frac{15}{2}),\ (1,-\frac32),\ (2,0),\ (3,\frac12),\ (4,0),\ (6,-4).$$