Упр.7.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.35. При каких значениях параметра a вершина параболы y=x^2-4ax+5a^2-3 равноудалена от осей координат?

Найдём координаты вершины параболы $$y=x^2-4ax+5a^2-3.$$

Для квадратичной функции $$y=Ax^2+Bx+C$$ абсцисса вершины равна $$x_0=-\frac{B}{2A}.$$

Здесь $$A=1,$$ $$B=-4a,$$ поэтому

$$x_0=-\frac{-4a}{2\cdot 1}=2a.$$

Ордината вершины:

$$y_0=f(2a)=(2a)^2-4a\cdot 2a+5a^2-3=4a^2-8a^2+5a^2-3=a^2-3.$$

Вершина равноудалена от осей координат, значит расстояния до осей равны:

$$|x_0|=|y_0|.$$

Тогда

$$|2a|=|a^2-3|.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4a^2=(a^2-3)^2.$$

$$a^4-10a^2+9=0.$$

Обозначим $$t=a^2.$$ Тогда

$$t^2-10t+9=0,$$

$$D=100-36=64,$$

$$t=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Получаем

$$t_1=1,\quad t_2=9.$$

Значит,

$$a^2=1 \quad \text{или} \quad a^2=9,$$

откуда

$$a=\pm 1,\quad a=\pm 3.$$

Ответ

$$a\in\{-3;\,-1;\,1;\,3\}.$$