Упр.7.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 7.28. При каких значениях параметра a прямая y=x-1 имеет с параболой y=x^2-2ax+3 одну общую точку?

Точки пересечения прямой и параболы найдём из уравнения

$$x^2-2ax+3=x-1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-(2a+1)x+4=0.$$

Чтобы прямая имела с параболой одну общую точку, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(2a+1)^2-4\cdot 1\cdot 4=0.$$

Тогда

$$4a^2+4a+1-16=0,$$

$$4a^2+4a-15=0.$$

Решим это уравнение:

$$D_1=4^2-4\cdot 4\cdot(-15)=16+240=256,$$

$$a=\frac{-4\pm 16}{2\cdot 4}=\frac{-4\pm 16}{8}.$$

Получаем:

$$a_1=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}, \qquad a_2=\frac{-20}{8}=-\frac{5}{2}.$$

Ответ

$$a=-\frac{5}{2}\ \text{или}\ a=\frac{3}{2}.$$