Упр.6.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 6.5. О функции y=f(x) известно, что D(f)=R, числа -1 и 3 являются её нулями, f(x) < 0 при x?(-?; -1)?(3; +?). Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции: 1) y=f(|x|); 2) y=|f(x)|.

1) $$y=f(|x|)$$

Нули функции находятся из уравнения $$f(|x|)=0.$$

Так как нули функции $$f(x)$$ равны $$-1$$ и $$3,$$ то для $$f(|x|)$$ получаем:

$$|x|=-1 \quad \text{или} \quad |x|=3.$$

Уравнение $$|x|=-1$$ решений не имеет, а из $$|x|=3$$ получаем:

$$x=\pm 3.$$

Теперь найдём знаки функции. Поскольку $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty),$$ то при $$|x|<3$$ имеем $$f(|x|)>0,$ а при $$|x|>3$$ — $$f(|x|)<0.$$

Значит,

$$f(|x|)>0 \text{ при } x\in(-3;3),$$

$$f(|x|)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty).$$

2) $$y=|f(x)|$$

Нули функции не изменяются при взятии модуля, поэтому:

$$|f(x)|=0 \iff f(x)=0 \iff x=-1 \text{ или } x=3.$$

Так как модуль неотрицателен, то

$$|f(x)|>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(-1;3)\cup(3;+\infty).$$

Отрицательных значений функция $$|f(x)|$$ не принимает.

Ответ

1) Нули: $$x=-3,\; x=3.$$ $$y>0$$ при $$x\in(-3;3),$$ $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty).$$

2) Нули: $$x=-1,\; x=3.$$ $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;3)\cup(3;+\infty),$$ $$y<0$$ — нет.