Упр.6.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 6.4. О функции y=f(x) известно, что D(f)=R, числа -3 и 2 являются её нулями, f(x) > 0 при x?(-?; -3)?(2; +?). Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции: 1) y=f(|x|); 2) y=|f(x)|.

1) Рассмотрим функцию $$y=f(|x|).$$

Нули этой функции находятся из уравнения $$f(|x|)=0.$$

Так как нулями функции $$f(x)$$ являются числа $$-3$$ и $$2,$$ а аргумент $$|x| \ge 0,$$ то подходит только значение $$|x|=2.$$

Тогда

$$|x|=2 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Знак функции определим по знаку аргумента $$|x|.$$

Поскольку $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty),$$ то для $$f(|x|)$$ положительные значения получаются при

$$|x|>2 \Rightarrow x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty).$$

Отрицательные значения — при

$$|x|<2 \Rightarrow x\in(-2;2).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=|f(x)|.$$

Нули функции не изменяются, поэтому

$$f(x)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=2.$$

Так как модуль делает значения функции неотрицательными, то

$$|f(x)|>0 \text{ при } x\ne -3,\; x\ne 2,$$

а отрицательных значений нет.

Ответ

1) Нули: $$x=-2,\; x=2.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty),$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-2;2).$$

2) Нули: $$x=-3,\; x=2.$$
$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(-3;2)\cup(2;+\infty),$$
$$y<0$$ — нет.