Упр.6.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$x^2+\frac{9x^2}{(x+3)^2}=7$$.

ОДЗ: $$x+3 \ne 0,$$ то есть $$x \ne -3.$$

Умножим уравнение на $$\left(x+3\right)^2$$:

$$x^2\left(x+3\right)^2+9x^2=7\left(x+3\right)^2$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$x^2\left(x+3\right)^2+9x^2-7\left(x+3\right)^2=0$$

$$x^4+6x^3+9x^2+9x^2-7x^2-42x-63=0$$

$$x^4+6x^3+11x^2-42x-63=0$$

Сгруппируем:

$$x^4+6x^3+11x^2-42x-63=(x^2-x-3)(x^2+7x+21)$$

Тогда

$$(x^2-x-3)(x^2+7x+21)=0$$

Решаем каждое уравнение:

$$x^2-x-3=0$$

$$D=1+12=13,\qquad x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$$

$$x^2+7x+21=0$$

$$D=49-84=-35<0$$

Действительных корней нет.

Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

$$\frac{1-\sqrt{13}}{2},\ \frac{1+\sqrt{13}}{2}$$