Упр.6.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 6.25. Решите уравнение x^2+(9x^2)/(x+3)^2=7.

ОДЗ: $$x+3 \ne 0,$$ то есть $$x \ne -3.$$

Умножим уравнение на $$\left(x+3\right)^2$$:

$$ x^2\left(x+3\right)^2+9x^2=7\left(x+3\right)^2 $$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$ x^2\left(x+3\right)^2+9x^2-7\left(x+3\right)^2=0 $$

$$ x^4+6x^3+9x^2+9x^2-7x^2-42x-63=0 $$

$$ x^4+6x^3+11x^2-42x-63=0 $$

Сгруппируем:

$$ x^4+6x^3+11x^2-42x-63=(x^2-x-3)(x^2+7x+21) $$

Тогда

$$ (x^2-x-3)(x^2+7x+21)=0 $$

Решаем каждое уравнение:

$$ x^2-x-3=0 $$

$$ D=1+12=13,\qquad x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2} $$

$$ x^2+7x+21=0 $$

$$ D=49-84=-35<0 $$

Действительных корней нет.

Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

$$ \frac{1-\sqrt{13}}{2},\ \frac{1+\sqrt{13}}{2} $$