Упр.6.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 6.24. Решите неравенство |x|-|x-3|?2x.

Рассмотрим случаи в зависимости от знака выражений под модулем.

1. Если $$x \ge 3,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-3|=x-3.$$ Тогда

   $$x-(x-3)\le 2x$$

   $$3\le 2x$$

   $$x\ge 1{,}5.$$

   С учётом условия $$x\ge 3$$ получаем $$x\ge 3.$$

2. Если $$0\le x<3,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-3|=3-x.$$ Тогда

   $$x-(3-x)\le 2x$$

   $$2x-3\le 2x$$

   $$-3\le 0.$$

   Это верно при любом $$x$$ из данного промежутка, значит все $$x$$, для которых $$0\le x<3,$$ подходят.

3. Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ $$|x-3|=3-x.$$ Тогда

   $$-x-(3-x)\le 2x$$

   $$-3\le 2x$$

   $$x\ge -1{,}5.$$

   С учётом условия $$x<0$$ получаем $$-1{,}5\le x<0.$$

Объединяем все найденные значения:

$$x\in[-1{,}5;+\infty).$$

Ответ

$$x\in[-1{,}5;+\infty).$$