Упр.6.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\left|3\left|x+1\right|-2\right|=a-x$$ имеет три корня?

Рассмотрим уравнение

$$|3|x+1|-2|=a-x.$$

Обозначим

$$f(x)=|3|x+1|-2|,\qquad g(x)=a-x.$$

График функции $$y=g(x)$$ получается параллельным переносом графика $$y=-x$$ вверх на $$a$$ единиц. Чтобы уравнение имело три корня, прямая $$y=a-x$$ должна пересекать график $$y=|3|x+1|-2|$$ в трёх точках.

Функция $$y=|3|x+1|-2|$$ имеет вершины в точках $$(-1,0)$$ и $$\left(0,1\right)$$, поэтому возможны три точки пересечения только при двух значениях параметра:

$$a=-\frac13 \quad \text{и} \quad a=1.$$

Ответ

$$a=-\frac13,\; 1.$$