Упр.6.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) |x^2-1|=a; 2) |(x+2)^2-3|=a; 3) |(|x|-2)^2-3|=a?

1. Рассмотрим уравнение $$|x^2-1|=a.$$

   Левая часть неотрицательна, значит при $$a<0$$ корней нет.

   Далее решаем по случаям:

   $$|x^2-1|=a \iff \begin{cases} x^2-1=a,\\ x^2-1=-a. \end{cases}$$

   То есть

   $$x^2=1+a \quad \text{или} \quad x^2=1-a.$$

   Количество корней зависит от числа $$a$$:

   • если $$a=0$$, то получаем $$x^2=1$$ — 2 корня;
   • если $$0<a<1$$, то оба уравнения дают по 2 корня, всего 4;
   • если $$a=1$$, то одно из уравнений даёт один корень $$x=0$$, другое — 2 корня, всего 3;
   • если $$a>1$$, то остаётся только $$x^2=1+a$$ — 2 корня.

2. Рассмотрим уравнение $$|(x+2)^2-3|=a.$$

   Здесь также $$a<0$$ невозможен, так как модуль неотрицателен.

   $$|(x+2)^2-3|=a \iff \begin{cases} (x+2)^2-3=a,\\ (x+2)^2-3=-a. \end{cases}$$

   Получаем

   $$ (x+2)^2=3+a \quad \text{или} \quad (x+2)^2=3-a.$$

   Тогда:

   • если $$a=0$$, то одно уравнение совпадает с другим, и получается 2 корня;
   • если $$0<a<3$$, то оба уравнения имеют по 2 корня, всего 4;
   • если $$a=3$$, то одно уравнение даёт один корень $$x=-2$$, другое — 2 корня, всего 3;
   • если $$a>3$$, то остаётся только $$ (x+2)^2=3+a $$ — 2 корня.

3. Рассмотрим уравнение $$|(|x|-2)^2-3|=a.$$

   Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и

   $$|(t-2)^2-3|=a.$$

   Это уравнение относительно $$t$$ имеет столько же решений, сколько и в пункте 2, но затем каждое положительное значение $$t$$ даёт два значения $$x=\pm t$$, а $$t=0$$ — одно значение.

   Рассмотрим случаи:

   • если $$a<0$$, корней нет;
   • если $$0<a<1$$, то для $$t$$ получается 4 решения, и каждое даёт по 2 значения $$x$$, всего 8;
   • если $$a=1$$, то среди решений по $$t$$ есть $$t=0$$ и ещё три положительных значения, значит получаем $$1+3\cdot 2=7$$ корней;
   • если $$1<a<3$$, то по $$t$$ получается 3 решения, все положительные, значит $$3\cdot 2=6$$ корней;
   • если $$a=3$$, то по $$t$$ получаем 2 решения, оба положительные, значит 4 корня;
   • если $$a>3$$, то по $$t$$ получается 1 положительное решение, значит 2 корня.

Ответ

1) $$a<0$$ — корней нет; $$a=0$$ или $$a>1$$ — 2 корня; $$a=1$$ — 3 корня; $$0<a<1$$ — 4 корня.
2) $$a<0$$ — корней нет; $$a=0$$ или $$a>3$$ — 2 корня; $$a=3$$ — 3 корня; $$0<a<3$$ — 4 корня.
3) $$a<0$$ — корней нет; $$0<a<1$$ — 8 корней; $$a=1$$ — 7 корней; $$1<a<3$$ — 6 корней; $$a=3$$ — 4 корня; $$a>3$$ — 2 корня.