Упр.6.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) ||x|-1|=a; 2) |(|x|-1)^2-1|=a; 3) |vx-2|=a?

Подробный ответ

$$||x|-1|=a$$
Так как левая часть неотрицательна, то при $$a<0$$ корней нет.
Рассмотрим случаи:
- $$a=0$$: $$||x|-1|=0 \Rightarrow |x|=1$$, значит, два корня;
- $$0<a<1$$: уравнение $$||x|-1|=a$$ даёт четыре корня;
- $$a=1$$: три корня;
- $$a>1$$: два корня.
$$\left|(|x|-1)^2-1\right|=a$$
Пусть $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$\left|(t-1)^2-1\right|=a.$$
Рассмотрим график функции $$y=\left|(|x|-1)^2-1\right|$$. Она принимает значения от $$0$$ и имеет максимум в точках, соответствующих пересечениям с горизонтальной прямой $$y=a$$.
По графику получаем:
- если $$a<0$$, то корней нет;
- если $$a=0$$, то три корня;
- если $$0<a<1$$, то шесть корней;
- если $$a=1$$, то четыре корня;
- если $$a>1$$, то два корня.
$$|\sqrt{x}-2|=a$$
Область определения: $$x\ge 0$$. Левая часть неотрицательна, значит, при $$a<0$$ корней нет.
Решим уравнение:
$$ |\sqrt{x}-2|=a \Rightarrow \sqrt{x}-2=a \quad \text{или} \quad \sqrt{x}-2=-a. $$
Отсюда
$$ \sqrt{x}=a+2 \quad \text{или} \quad \sqrt{x}=2-a. $$
Каждое из этих уравнений даёт корень только при неотрицательной правой части.
- если $$a=0$$, то один корень;
- если $$0<a<2$$, то два корня;
- если $$a=2$$, то один корень;
- если $$a>2$$, то один корень;
- если $$a<0$$, то корней нет.
Итак, при $$a=0$$ или $$a>2$$ — один корень, при $$0<a<2$$ — два корня.