Упр.5.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.37. Решите уравнение (x+5)^4+(x+3)^4=2.

Сделаем замену переменной: $$y=x+4.$$ Тогда

$$ (x+5)^4+(x+3)^4=2 $$

превращается в уравнение

$$ (y+1)^4+(y-1)^4=2. $$

Раскроем скобки:

$$ (y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1, $$

$$ (y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1. $$

Сложим:

$$ (y+1)^4+(y-1)^4=2y^4+12y^2+2. $$

Тогда

$$ 2y^4+12y^2+2=2 $$

$$ 2y^4+12y^2=0 $$

$$ 2y^2(y^2+6)=0. $$

Отсюда

$$ y^2=0 $$

или

$$ y^2+6=0. $$

В действительных числах второе уравнение решений не имеет, поэтому

$$ y=0. $$

Возвращаемся к замене:

$$ x+4=0, $$

$$ x=-4. $$

Ответ

$$-4$$