Упр.5.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\left(x+5\right)^4+\left(x+3\right)^4=2$$.

Сделаем замену переменной: $$y=x+4.$$ Тогда

$$(x+5)^4+(x+3)^4=2$$

превращается в уравнение

$$(y+1)^4+(y-1)^4=2.$$

Раскроем скобки:

$$(y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1,$$

$$(y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1.$$

Сложим:

$$(y+1)^4+(y-1)^4=2y^4+12y^2+2.$$

Тогда

$$2y^4+12y^2+2=2$$

$$2y^4+12y^2=0$$

$$2y^2(y^2+6)=0.$$

Отсюда

$$y^2=0$$

или

$$y^2+6=0.$$

В действительных числах второе уравнение решений не имеет, поэтому

$$y=0.$$

Возвращаемся к замене:

$$x+4=0,$$

$$x=-4.$$

Ответ

$$-4$$