Упр.5.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Сколько корней в зависимости от значения параметра $$a$$ имеет уравнение $$2-x^2=|x+a|$$?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$2-x^2=|x+a|.$$

График функции $$y=2-x^2$$ — парабола, а график функции $$y=|x+a|$$ получается из графика $$y=|x|$$ параллельным переносом на $$a$$ единиц вдоль оси абсцисс.

Найдём, при каких значениях параметра $$a$$ уравнение имеет различное число корней.

Раскроем модуль по двум случаям:

$$2-x^2=x+a$$
или
$$2-x^2=-x-a.$$

Получаем квадратные уравнения:

$$x^2+x+(a-2)=0,$$
$$x^2-x-(a+2)=0.$$

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, одно из этих квадратных уравнений должно иметь один корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D_1=1-4(a-2)=9-4a,$$
$$D_2=1+4(a+2)=9+4a.$$

Тогда

$$9-4a=0 \Rightarrow a=\frac{9}{4},$$
$$9+4a=0 \Rightarrow a=-\frac{9}{4}.$$

Если $$|a|<\frac{9}{4},$$ то графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня.

Если $$|a|=\frac{9}{4},$$ то графики касаются, значит уравнение имеет один корень.

Если $$|a|>\frac{9}{4},$$ то графики не пересекаются, значит корней нет.