Упр.5.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.35. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение 2-x^2=|x+a|?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$2-x^2=|x+a|.$$

График функции $$y=2-x^2$$ — парабола, а график функции $$y=|x+a|$$ получается из графика $$y=|x|$$ параллельным переносом на $$a$$ единиц вдоль оси абсцисс.

Найдём, при каких значениях параметра $$a$$ уравнение имеет различное число корней.

Раскроем модуль по двум случаям:

$$ 2-x^2=x+a $$
или
$$ 2-x^2=-x-a. $$

Получаем квадратные уравнения:

$$ x^2+x+(a-2)=0, $$
$$ x^2-x-(a+2)=0. $$

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, одно из этих квадратных уравнений должно иметь один корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$ D_1=1-4(a-2)=9-4a, $$
$$ D_2=1+4(a+2)=9+4a. $$

Тогда

$$ 9-4a=0 \Rightarrow a=\frac{9}{4}, $$
$$ 9+4a=0 \Rightarrow a=-\frac{9}{4}. $$

Если $$|a|<\frac{9}{4},$$ то графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня.

Если $$|a|=\frac{9}{4},$$ то графики касаются, значит уравнение имеет один корень.

Если $$|a|>\frac{9}{4},$$ то графики не пересекаются, значит корней нет.