Упр.5.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Сколько корней в зависимости от значения параметра $$a$$ имеет уравнение $$x^2+1=|x-a|$$?

Рассмотрим уравнение $$x^2+1=|x-a|.$$

График функции $$y=x^2+1$$ — парабола с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$, а график функции $$y=|x-a|$$ получается из графика $$y=|x|$$ параллельным переносом вдоль оси абсцисс на $$a$$ единиц.

Чтобы уравнение имело корни, графики должны пересекаться. Найдём, при каких значениях параметра $$a$$ это возможно.

Рассмотрим случаи.

1. Если пересечение происходит в точке касания, то уравнение имеет один корень. Тогда одна из ветвей модуля задаётся линейным уравнением:

   $$x^2+1=x-a \quad \text{или} \quad x^2+1=a-x.$$

   Получаем квадратные уравнения:

   $$x^2-x+(a+1)=0,$$
   $$x^2+x+(1-a)=0.$$

   Для единственного корня дискриминант должен быть равен нулю:

   $$D_1=1-4(a+1)=-4a-3,$$
   $$D_2=1-4(1-a)=4a-3.$$

   Отсюда:

   $$-4a-3=0 \Rightarrow a=-\frac34,$$
   $$4a-3=0 \Rightarrow a=\frac34.$$

2. Если $$|a|<\frac34,$$ графики не пересекаются, значит корней нет.

3. Если $$|a|>\frac34,$$ графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня.

Ответ: если $$|a|<\frac34,$$ корней нет; если $$|a|=\frac34,$$ один корень; если $$|a|>\frac34,$$ два корня.