Упр.5.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.34. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение x^2+1=|x-a|?
Рассмотрим уравнение $$x^2+1=|x-a|.$$
График функции $$y=x^2+1$$ — парабола с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$, а график функции $$y=|x-a|$$ получается из графика $$y=|x|$$ параллельным переносом вдоль оси абсцисс на $$a$$ единиц.
Чтобы уравнение имело корни, графики должны пересекаться. Найдём, при каких значениях параметра $$a$$ это возможно.
Рассмотрим случаи.
Если пересечение происходит в точке касания, то уравнение имеет один корень. Тогда одна из ветвей модуля задаётся линейным уравнением:
$$x^2+1=x-a \quad \text{или} \quad x^2+1=a-x.$$
Получаем квадратные уравнения:
$$ x^2-x+(a+1)=0, $$
$$ x^2+x+(1-a)=0. $$Для единственного корня дискриминант должен быть равен нулю:
$$ D_1=1-4(a+1)=-4a-3, $$
$$ D_2=1-4(1-a)=4a-3. $$Отсюда:
$$ -4a-3=0 \Rightarrow a=-\frac34, $$
$$ 4a-3=0 \Rightarrow a=\frac34. $$Если $$|a|<\frac34,$$ графики не пересекаются, значит корней нет.
Если $$|a|>\frac34,$$ графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня.
Ответ: если $$|a|<\frac34,$$ корней нет; если $$|a|=\frac34,$$ один корень; если $$|a|>\frac34,$$ два корня.
