Упр.5.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Определите количество корней уравнения $$|x-a|+|x|=2$$ в зависимости от значения параметра $$a$$.

Преобразуем уравнение:

$$|x-a|+|x|=2 \iff |x-a|=2-|x|.$$

Рассмотрим графики функций $$y=2-|x|$$ и $$y=|x-a|.$$

График функции $$y=|x-a|$$ получается из графика $$y=|x|$$ параллельным переносом на $$a$$ единиц вдоль оси абсцисс. Поэтому вершина этого графика находится в точке $$\left(a,0\right).$$

График функции $$y=2-|x|$$ — это «перевёрнутая» буква V с вершиной в точке $$\left(0,2\right).$$

Число корней уравнения равно числу точек пересечения этих графиков.

Если $$|a|<2,$$ то графики пересекаются в двух точках, значит, уравнение имеет два корня.

Если $$|a|=2,$$ то графики касаются, и уравнение имеет бесконечно много корней.

Если $$|a|>2,$$ то графики не пересекаются, значит, корней нет.

Ответ

Если $$|a|<2,$$ то два корня; если $$|a|=2,$$ то бесконечно много корней; если $$|a|>2,$$ то корней нет.