Упр.5.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.31. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=(x+a)^2 на отрезке [-4; -2].
Рассмотрим функцию $$f(x)=(x+a)^2$$ на отрезке $$[-4;-2].$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $$x=-a.$$
Нужно сравнить положение вершины с отрезком $$[-4;-2].$$
Если $$a\le 2,$$ то $$-a\ge -2,$$ значит на отрезке функция убывает. Тогда
$$\min\limits_{[-4;-2]} f(x)=f(-2)=(a-2)^2,$$
$$\max\limits_{[-4;-2]} f(x)=f(-4)=(a-4)^2.$$
Если $$2<a<4,$$ то вершина лежит внутри отрезка $$[-4;-2].$$ Тогда
$$\min\limits_{[-4;-2]} f(x)=f(-a)=0.$$
Максимум достигается на конце отрезка, причём
$$f(-4)=(a-4)^2,\qquad f(-2)=(a-2)^2.$$
Так как $$2<a<4,$$ то $$a-2<4-a,$$ следовательно $$ (a-2)^2<(a-4)^2,$$ и потому
$$\max\limits_{[-4;-2]} f(x)=(a-4)^2.$$
Если $$a=4,$$ то вершина в точке $$x=-4.$$ Тогда
$$\min\limits_{[-4;-2]} f(x)=f(-4)=0,$$
$$\max\limits_{[-4;-2]} f(x)=f(-2)=(4-2)^2=4.$$
Если $$a>4,$$ то $$-a<-4,$$ значит на отрезке функция возрастает. Тогда
$$\min\limits_{[-4;-2]} f(x)=f(-4)=(a-4)^2,$$
$$\max\limits_{[-4;-2]} f(x)=f(-2)=(a-2)^2.$$
Заметим, что при $$a=3$$ вершина лежит внутри отрезка, поэтому минимум равен $$0,$$ а максимум равен $$\max\{(3-4)^2,(3-2)^2\}=1.$$
Ответ
Если $$a\le 2,$$ то $$\min=(a-2)^2,\ \max=(a-4)^2.$$
Если $$2<a<4,$$ то $$\min=0,\ \max=(a-4)^2.$$
Если $$a=4,$$ то $$\min=0,\ \max=4.$$
Если $$a>4,$$ то $$\min=(a-4)^2,\ \max=(a-2)^2.$$
