Упр.5.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.30. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=|x-a| на отрезке [1; 3].

Рассмотрим функцию $$f(x)=|x-a|$$ на отрезке $$[1;3].$$ График этой функции — V-образная ломаная с вершиной в точке $$x=a.$$ Поэтому на отрезке минимум достигается в вершине, если она принадлежит отрезку, а максимум — на одном из концов отрезка.

1. Если $$a\le 1,$$ то на отрезке $$[1;3]$$ функция возрастает:

   $$\min\limits_{[1;3]} f(x)=f(1)=|1-a|,$$

   $$\max\limits_{[1;3]} f(x)=f(3)=|3-a|.$$

2. Если $$1<a<3,$$ то вершина лежит внутри отрезка, значит

   $$\min\limits_{[1;3]} f(x)=f(a)=|a-a|=0.$$

   Максимум достигается на конце отрезка, более удалённом от точки $$a$$:

   $$\max\limits_{[1;3]} f(x)=\max\{|1-a|,\ |3-a|\}.$$

   При этом:

   • если $$1<a<2,$$ то $$\max\limits_{[1;3]} f(x)=|3-a|;$$
   • если $$a=2,$$ то $$\max\limits_{[1;3]} f(x)=|3-2|=1;$$
   • если $$2<a<3,$$ то $$\max\limits_{[1;3]} f(x)=|1-a|.$$

3. Если $$a\ge 3,$$ то на отрезке $$[1;3]$$ функция убывает:

   $$\min\limits_{[1;3]} f(x)=f(3)=|3-a|,$$

   $$\max\limits_{[1;3]} f(x)=f(1)=|1-a|.$$

Ответ

$$ \min\limits_{[1;3]} |x-a|= \begin{cases} |1-a|, & a\le 1,\\ 0, & 1<a<3,\\ |3-a|, & a\ge 3, \end{cases} $$
$$ \max\limits_{[1;3]} |x-a|= \begin{cases} |3-a|, & a\le 1,\\ \max\{|1-a|,\ |3-a|\}, & 1<a<3,\\ |1-a|, & a\ge 3. \end{cases} $$