Упр.5.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.29. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение v(x+a)=2-x?

Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x+a}=2-x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно выполняться $$2-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+a=(2-x)^2.$$

Но удобнее рассмотреть графически: график функции $$y=\sqrt{x+a}$$ получается из графика $$y=\sqrt{x}$$ сдвигом на $$a$$ единиц влево, а график $$y=2-x$$ — прямая. Число корней уравнения равно числу точек пересечения этих графиков.

При $$a=2$$ графики касаются в одной точке, значит уравнение имеет один корень.

При $$a<2$$ графики не пересекаются, значит корней нет.

При $$a>2$$ пересечений также нет, так как график $$y=\sqrt{x+a}$$ сдвигается влево и не может пересечь прямую $$y=2-x$$.

Ответ

Если $$a=2$$, то уравнение имеет один корень; если $$a\ne 2$$, то корней нет.