Упр.5.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.28. Сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение v(x-a)=1-x?

Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x-a}=1-x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно выполняться $$1-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 1.$$

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x-a\ge 0,$$ то есть $$x\ge a.$$

Значит, решения уравнения могут существовать только при $$a\le x\le 1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x-a=(1-x)^2.$$

Но удобнее рассмотреть графически: график функции $$y=\sqrt{x-a}$$ получается сдвигом графика $$y=\sqrt{x}$$ вправо на $$a$$ единиц, а график $$y=1-x$$ — прямая. Их пересечение зависит от положения графика корня относительно прямой.

Если $$a\le 1,$$ то графики пересекаются в одной точке, значит уравнение имеет один корень.

Если $$a>1,$$ то область возможных значений для $$x$$ пуста, так как одновременно должны выполняться $$x\ge a$$ и $$x\le 1,$$ поэтому корней нет.

Ответ

Если $$a\le 1,$$ то уравнение имеет один корень; если $$a>1,$$ то корней нет.