Упр.5.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.27. При каких значениях параметра a уравнение |x|+a=-x^2 имеет дна корня?

Рассмотрим уравнение

$$|x|+a=-x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2+|x|+a=0.$$

Обозначим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2$$. Получаем

$$t^2+t+a=0.$$

Нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно два корня по $$x$$. Это возможно тогда и только тогда, когда уравнение относительно $$t$$ имеет единственный положительный корень $$t>0$$: тогда ему соответствуют два значения $$x=\pm t$$.

Рассмотрим функцию

$$y=t^2+t+a.$$

Её график — парабола, ветви направлены вверх. Чтобы уравнение $$t^2+t+a=0$$ имело один положительный корень, парабола должна касаться оси $$t$$ в точке с положительной абсциссой.

Это происходит при нулевом дискриминанте:

$$D=1-4a=0,$$

откуда

$$a=\frac14.$$

Тогда корень уравнения

$$t=-\frac12,$$

но он отрицательный, а значит, не подходит. Следовательно, касание в положительной точке невозможно.

Проверим, когда уравнение имеет два корня по $$x$$. Для этого нужно, чтобы уравнение

$$x^2+|x|+a=0$$

имело два симметричных решения $$x=\pm x_0$$, то есть чтобы при $$x\ge 0$$ выполнялось

$$x^2+x+a=0,$$

а при $$x\le 0$$ —

$$x^2-x+a=0.$$

Чтобы было ровно два корня, достаточно, чтобы одно из этих уравнений имело один положительный корень, а другое не имело решений, что возможно при

$$a<0.$$

Тогда график функции $$y=|x|+a$$ пересекает график $$y=-x^2$$ в двух точках.

Ответ

$$a<0.$$