Упр.5.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 5.26. Определите количество корней уравнения a-|x|=x^2 в зависимости от значения параметра a.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение $$a-|x|=x^2.$$

Перепишем его в виде

$$x^2+|x|-a=0.$$

Обозначим $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда $$x^2=t^2,$$ и уравнение принимает вид

$$t^2+t-a=0.$$

Найдём корни этого квадратного уравнения:

$$t=\frac{-1\pm\sqrt{1+4a}}{2}.$$

Так как $$t\ge 0,$$ подходит только неотрицательный корень

$$t=\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}.$$

Он существует при $$1+4a\ge 0,$$ то есть при $$a\ge -\frac14.$$

Теперь учитываем, сколько значений $$x$$ соответствует каждому допустимому $$t$$:

если $$t>0,$$ то $$|x|=t$$ даёт два корня: $$x=\pm t$$;
если $$t=0,$$ то получается один корень: $$x=0$$;
если $$t<0,$$ корней нет.

Рассмотрим значения параметра:

при $$a<0$$ имеем $$x^2+|x|-a>0$$ при всех $$x,$$ значит корней нет;
при $$a=0$$ уравнение имеет вид $$x^2+|x|=0,$$ откуда $$x=0,$$ то есть один корень;
при $$a>0$$ получаем $$t>0,$$ значит существуют два корня $$x=\pm t.$$