Упр.4.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ произведение корней уравнения $$x^2-2ax+a^2-a=0$$ равно 2?

По теореме Виета для уравнения

$$x^2-2ax+a^2-a=0$$

произведение корней равно свободному члену:

$$x_1x_2=a^2-a.$$

По условию это произведение равно $$2$$, значит

$$a^2-a=2.$$

Решим квадратное уравнение:

$$a^2-a-2=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9$$

$$a=\frac{1\pm 3}{2}$$

$$a_1=-1,\quad a_2=2.$$

Проверим, при каких значениях параметра уравнение имеет корни. Для этого нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

$$D_x=( -2a)^2-4(a^2-a)=4a^2-4a^2+4a=4a\ge 0,$$

откуда

$$a\ge 0.$$

Из найденных значений этому условию удовлетворяет только $$a=2$$.

Ответ

$$2$$