Упр.4.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$y=ax^2$$ при $$a<0$$ возрастает на промежутке $$(-?; 0]$$ и убывает на промежутке $$[0; +?)$$.

Рассмотрим функцию $$y=ax^2$$, где $$a<0$$.

Докажем, что она возрастает на промежутке $$(-\infty;0]$$ и убывает на промежутке $$[0;+\infty)$$.

Возьмём две точки $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_1<x_2$$. Тогда

$$y(x_2)-y(x_1)=ax_2^2-ax_1^2=a(x_2^2-x_1^2)=a(x_2-x_1)(x_2+x_1).$$

1) Если $$0\le x_1<x_2$$, то $$x_2-x_1>0$$ и $$x_2+x_1>0$$. Так как $$a<0$$, получаем

$$y(x_2)-y(x_1)<0,$$

значит, $$y(x_2)<y(x_1)$$. Следовательно, функция убывает на $$[0;+\infty)$$.

2) Если $$x_1<x_2\le 0$$, то $$x_2-x_1>0$$, а $$x_2+x_1\le 0$$. При $$a<0$$ произведение

$$a(x_2-x_1)(x_2+x_1)\ge 0,$$

то есть

$$y(x_2)-y(x_1)\ge 0.$$

Следовательно, $$y(x_2)\ge y(x_1)$$, значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$.

Ответ

Функция $$y=ax^2$$ при $$a<0$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;0]$$ и убывает на промежутке $$[0;+\infty)$$.