Упр.4.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=ax^2$$ при $$a>0$$ убывает на промежутке $$(-\infty; 0]$$ и возрастает на промежутке $$[0; +\infty)$$.

Рассмотрим функцию $$y=ax^2$$, где $$a>0$$.

Возьмём любые два числа $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

$$y(x_2)-y(x_1)=ax_2^2-ax_1^2=a(x_2^2-x_1^2)=a(x_2-x_1)(x_2+x_1).$$

1) Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2-x_1>0$$ и $$x_2+x_1>0$$. Так как $$a>0$$, получаем

$$y(x_2)-y(x_1)>0,$$

значит, $$y(x_2)>y(x_1)$$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $$[0;+\infty)$$.

2) Если $$x_1<x_2\le 0$$, то $$x_2-x_1>0$$, а $$x_2+x_1\le 0$$. Поэтому

$$y(x_2)-y(x_1)\le 0,$$

то есть $$y(x_2)\le y(x_1)$$. Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-\infty;0]$$.

Ответ

Функция $$y=ax^2$$ при $$a>0$$ убывает на промежутке $$(-\infty;0]$$ и возрастает на промежутке $$[0;+\infty)$$.