Упр.32.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

((1+v(2-a))/(2-a+v(2-a))-(1-v(2-a))/(2-a-v(2-a)))·v(2/a-1), если 0 < a < 2.

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{1+\sqrt{2-a}}{2-a+\sqrt{2-a}}-\frac{1-\sqrt{2-a}}{2-a-\sqrt{2-a}}\right)\cdot \sqrt{\frac{2}{a}-1} $$

Так как $$0<a<2,$$ то $$2-a>0,$$ и можно ввести обозначение:

$$ t=\sqrt{2-a}. $$
Тогда $$2-a=t^2,$$ и выражение примет вид

$$ \left(\frac{1+t}{t^2+t}-\frac{1-t}{t^2-t}\right)\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}}. $$

Упростим дроби:

$$ \frac{1+t}{t^2+t}=\frac{1+t}{t(t+1)}=\frac{1}{t}, \qquad \frac{1-t}{t^2-t}=\frac{1-t}{t(t-1)}=-\frac{1}{t}. $$

Тогда

$$ \left(\frac{1}{t}-\left(-\frac{1}{t}\right)\right)\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}} = \frac{2}{t}\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}}. $$

Подставим $$t=\sqrt{2-a}:$$

$$ \frac{2}{\sqrt{2-a}}\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a}}{a}. $$

Ответ

$$ \frac{2\sqrt{a}}{a} $$