Упр.32.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{1+\sqrt{2-a}}{2-a+\sqrt{2-a}}-\frac{1-\sqrt{2-a}}{2-a-\sqrt{2-a}}\right)\cdot\sqrt{\frac{2}{a}-1}$$, если $$0

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{1+\sqrt{2-a}}{2-a+\sqrt{2-a}}-\frac{1-\sqrt{2-a}}{2-a-\sqrt{2-a}}\right)\cdot \sqrt{\frac{2}{a}-1}$$

Так как $$0<a<2,$$ то $$2-a>0,$$ и можно ввести обозначение:

$$t=\sqrt{2-a}.$$
Тогда $$2-a=t^2,$$ и выражение примет вид

$$\left(\frac{1+t}{t^2+t}-\frac{1-t}{t^2-t}\right)\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}}.$$

Упростим дроби:

$$\frac{1+t}{t^2+t}=\frac{1+t}{t(t+1)}=\frac{1}{t}, \qquad \frac{1-t}{t^2-t}=\frac{1-t}{t(t-1)}=-\frac{1}{t}.$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{t}-\left(-\frac{1}{t}\right)\right)\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}} = \frac{2}{t}\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}}.$$

Подставим $$t=\sqrt{2-a}:$$

$$\frac{2}{\sqrt{2-a}}\cdot \sqrt{\frac{2-a}{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}} = \frac{2\sqrt{a}}{a}.$$

Ответ

$$\frac{2\sqrt{a}}{a}$$